Решу.РФМатематикаФилиппов → Линейные уравнения с переменными коэффициентами

Бесплатные решения из сборника задач по дифференциальным уравнениям А.Ф. Филиппова. Решения дифференциальных уравнений в данном разделе доступны в режиме онлайн без регистрации.

641. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x + 2, x - 2.

642. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
6x + 9, 8x + 12.

643. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
sin x, cos x.

644. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
1, x, x2.

645. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
4 - x, 2x + 3, 6x + 8.

646. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x2 + 2, 3x2 - 1, x + 4.

647. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x2 - x + 3, 2x2 + x, 2x -...

648. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
ex, e2x, e3x.

649. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x, ex, xex.

650. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
1, sin2 x, cos 2x.

651. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
sh x, ch x, 2 + ex.

652. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
ln(x2), ln 3x, 7.

653. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x, 0, ex.

654. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
sh x, ch x, 2ex - 1, 3ex +...

656. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
sin x, cos x, sin 2x.

658. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
sqrt(x), sqrt(x + 1), sqrt(x + 2).

660. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x2, x|x|.

661. Исследовать, являются ли данные функции линейно зависимыми. Функции рассматриваются в той области, в которой они все определены.
x, |x|, 2x + sqrt(4x2).

663. а) Являются ли линейно зависимыми на отрезке [a, b] функции, графики которых изображены на рис. 1?
б) Тот же вопрос для рис. 2.

665. Детерминант Вронского для функций y1, ..., yn равен нулю при всех х. Могут ли быть эти функции линейно зависимыми? Линейно независимыми?

667. Функции y1 = x, y2 = x5, y3 = |x5| удовлетворяют уравнению x2y'' - 5xy' + 5y = 0. Являются ли они линейно зависимыми...

668. Доказать, что два решения уравнения y'' + p(x)y' + q(x)y = 0 (с непрерывными коэффициентами), имеющие максимум при одном и том же значении x, линейно зависимы.

669. Даны 4 решения уравнения y''' + xy = 0, графики которых касаются друг друга в одной точке. Сколько линейно независимых имеется среди этих решений?

671. Могут ли графики двух решений уравнения y(n) + p1(x)y(n-1) + ... + pn(x)y = 0 (с непрерывными коэффициентами) на плоскости x, y а) пересекаться,...

673. Линейное однородное уравнение какого порядка на интервале (0, 1) может иметь такие четыре частных решения: y1 = x2 - 2x + 2, y2 = (x - 2)2,...

674. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения: 1, cos x.

675. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения: x, ex.

676. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения: 3x, x - 2, ex + 1.

678. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения: ex, sh x, ch x.

679. Составить линейное однородное дифференциальное уравнение (возможно меньшего порядка), имеющее данные частные решения: x, x2, ex.

681. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

682. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

683. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

684. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

685. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

686. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

687. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

689. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

691. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

692. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

694. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

696. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

698. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

700. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

701. В задачах 681–701 найти общие решения данных уравнений, зная их частные решения. В тех задачах, где частное решение не дано, можно искать его путем подбора, например, в виде показательной...

710. В уравнении линейной заменой искомой функции y=a(x)z уничтожить член с первой производной.
xy'' + y' + xy = 0.

713. В уравнении заменой независимого переменного t = φ(x) уничтожить член с первой производной.
x2(1 - x2)y'' + 2(x - x3)y' - 2y = 0.

718. Доказать, что в случае q(x) < 0 решения уравнения y'' + p(х)y' + q(x)y = 0 не могут иметь положительных максимумов.

720. Могут ли графики двух решений уравнения y'' + q(x)y = 0 (функция q(x) непрерывна) располагаться так, как на рис. 3,а? рис. 3,б? рис. 3,в? рис. 3,г?

722. Доказать, что в случае q(x) > 0 для любого решения уравнения y'' + q(x)y = 0 отношение y'(х)/y(х) убывает при возрастании x на интервале, где y(x) ≠ 0.

723. Доказать, что в случае q(x) ≤ 0 все решения уравнения у'' + q(x)y = 0 с положительными начальными условиями у(х0) > 0, у'(х0) > 0 остаются положительными...

734. Пусть у и z - решения уравнений у'' + q(x)y = 0 и z'' + Q(x)z = 0 с совпадающими начальными условиями у(х0) = z(x0), у'(х0) = z'(x0) и на...

737. Заменой независимого переменного t = φ(x) привести уравнение d2y/dx2 ± y/(ψ(x))4 = 0 к виду d2y/dt2 + b(t) dy/dt...

738. Исследовать асимптотическое поведение при x → +∞ решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля (см. задачу 737) и утверждениями п. 4 (стр. 77).
y'' + x4y...

744. Исследовать асимптотическое поведение при x → +∞ решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля (см. задачу 737) и утверждениями п. 4 (стр. 77).
xy'' +...

746. Исследовать асимптотическое поведение при x → +∞ решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля (см. задачу 737) и утверждениями п. 4 (стр. 77).
y'' + (x4...

747. Исследовать асимптотическое поведение при x → +∞ решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля (см. задачу 737) и утверждениями п. 4 (стр. 77).
(x2...

748. Исследовать асимптотическое поведение при x → +∞ решений данных уравнений, пользуясь преобразованием Лиувилля (см. задачу 737) и утверждениями п. 4 (стр. 77).
x2y''...

749. Получить более точное асимптотическое представление решения уравнения, применяя два раза преобразование Лиувилля.
y'' - 4x2y = 0.